E = F_1 cup F_2 cup cdots cup F_k cup cdots
domkniętych zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem brzegowym (i w takim przypadku, m.in. nie być może dopełniać całej przestrzeni).
Równoważn
Równoważn
Dokument: Niech I będzie zbiorem A kategorii, czy I=bigcuplimits_n A_{n} dokąd A_{n} jest nigdziegęsty gwoli dowolnego n in mathbb{N}. Pokażemy, iż I jest graniczny, czy overline{Xbackslash I}=X. Niech K_{0} będzie dowolną kulą otwartą. Udowodnimy, iż K_{0}cap(Xbackslash I)not=emptyset. Gdy tylko A_{1} jest nigdziegęsty, owo istnieje kłębek K_{1}subset K_{0}, iż K_{1} cap A_{1} = emptyset. Możemy obrać, iż K_{1} jest kulą domkniętą a δ(K_{1}) (dokąd δ oznacza średnicę zbioru). Następny, w kuli K_{1} znajdziemy kulę domkniętą K_{2}, iż K_{2} cap A_{2} =emptyset dodatkowo δ(K_{2}). Indukcyjnie, znajdziemy bieg kul domkniętych {K}_{n} taki, iż: na rzecz dowolnego n in mathbb{N} ma
Zastosowania
Zapewnienie Baire’i ma liczne zastosowania. W analizie funkcjonalnej wykorzystuje się je w dowodach takich twierdzeń, j
Spośród twierdzenia Baire’i wynika podobnie jak zjawisko, iż każda przestrzeń metryczna zupełna bez punktów izolowanych jest nieprzeliczalna. W szczególności zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.
Dowód Banacha twierdzenia o istnieniu funkcji ciągłych i nieróżniczkowalnych
Stefan Banach użył twierdzenia Baire’a do dowodu istnienia funkcji ciągłych na odcinku [0,1], które nie są różniczkowalne w żadnym punkcie swojej dziedzinyS. Banach, . Studia. Math. 3 (1931), 174–179.. Dowód Banacha pokazuje, że zbiór funkcji które mają pochodną w choć jednym punkcie jest I kategorii, tj. jest topologicznie mały.
Dowód. Niech C[0,1] oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na odcinku [0,1] z normą supremum. Ponadto, niech dla wszelkich liczb naturalnych k ≥ 1 dany będzie zbiór
N_k = big{ f in C[0,1]colon, exists {x in [0,1]} forall {h neq 0} left| frac{f(x+h) – f(x)}{h}right| leqslant k big}.
Zbiory Nk (k jest liczbą naturalną) są domknięte. Istotnie, niech (fn) będzie ciągiem funkcji ze zbioru Nk zbieżnym do pewnej funkcji f ∈ C[0,1]. Niech xn będzie punktem dla którego funkcja fn spełnia warunek w definicji zbioru Nk oraz niech x0 będzie punktem skupienia ciągu (xn) (punkt taki istnieje, co wynika z (ciągowej) zwartości odcinka [0,1]). Wówczas funkcja graniczna f spełnia warunek określający zbiór Nk w punkcie x0, tj. f ∈ Nk, co dowodzi domkniętości.
Niech A będzie rodziną funkcji ciągłych, odcinkami liniowych (tj. takich, których wykresami są łamane). Zbiór ten jest gęsty w C[0,1]. Ponadto każdą funkcję ze zbioru A, można aproksymować z dowolną dokładnością funkcjami spoza zbioru Nk. Wynika stąd, iż
C[0,1] = overline{A} subseteq overline{C[0,1]setminus N_k};;(kinmathbb{N}),,
co, w szczególności, implikuje, że każdy ze zbiorów Nk ma puste wnętrze. Dowodzi to, że zbiory Nk są brzegowe.
Każdy ze zbiorów Nk jest domknięty i brzegowy, a więc nigdziegęsty. Z twierdzenia Baire’a wynika, że
bigcup_{k=1}^{infty} N_k neq C[0,1].
Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że jeżeli funkcja w pewnym punkcie ma skończoną pochodną, to należy do pewnego zbioru Nk, a zatem zbiór funkcji ciągłych na [0,1] które mają pochodną w choć jednym punkcie jest pierwszej kategorii. Istnieją więc funkcje ciągłe na odcinku [0,1] bez pochodnych w żadnym punkcie. □
vstelecom 